4-3 정자기학(Magnetostatics)기초_자기벡터포텐셜

(magnetic vector potential)

B의 divergence가 0이므로 B는 어떤 벡터의 curl로 표현될 수 있다. (curl의 divergence는 항상 0)

앙페르 법칙은 다음과 같이 전개된다.

정전기학에서는 E의 curl이 0이므로 E는 V의 gradient로 정의될 수 있었다. V는 스칼라이고 V에 어떤 gradient가 0인 스칼라(결국, 상수)를 더해도 E 자체에는 영향을 주지 못했다. 마찬가지로 B의 divergence가 0이므로 A의 Curl로 정의되고, 벡터 A에 curl이 0인 어떤 벡터를 더해도 B에는 영향을 주지 못한다. 이런 curl이 0인 벡터는 스칼라장의 gradient이다.

그렇다면 다음과 같이 A에 어떤 스칼라장의 gradient를 더해서 A의 divergence를 0이 되게 하는 스칼라장이 항상 존재한다.

위의 A가 divergence가 0이 스칼라장에 대한 관계식은 다음과 같다.

이것은 Poisson’s equation이다. 정전기학에서 이미 Poisson equation에 대한 전위를 구하는 식을 도출했다(전하밀도가 무한대에 가면 0이 되는 경우). //무한평면의 경우는 다르다,

마찬가지로 스칼라장에 대한 식은,

이것은 A0의 divergence가 무한에서 0인 경우에 해당하고, 그렇지 않더라도 Poisson’s equation의 해는 항상 존재하므로(확실??) A의 divergence를 0으로 만드는 스칼라장은 항상 존재한다,

이러한 A에 대해서 앙페르 법칙은 다음과 같이 정리된다.

이것은 3개의 Poisson’s equation임을 알 수 있다(3 component). 부피전류밀도 J가 무한대에서 0이면 vector potential은 다음과 같다. //전류가 무한대에서 0이 아닐 경우?

//Vector potential문제 -> 물리적 의미 파악하기 + A의 방향은 전류의 방향이다.

//경계조건

(벡터포텐셜의 다중극전개)

localized current 분포에 대한 vector potential의 근사식을 얻기 위해 potential을 power series 형태로 나타낼 수 있다.

위의 그림과 같은 current loop에 대한 vector potential은 다음과 같다.

1/r의 n승에 대해 식을 정리하면,

이 식에서 monopole항은 항상 0이다. 이것은 자연에 자기홀극이 없음을 보여주고, Maxwell’s equation에 의한 결과이다. 가장 지배적인 항은 자기쌍극 항이다.

여기에서, //eq 1.108

이므로 magnetic dipole moment를 다음과 같이 정의한다.

최종적으로 포텐셜의 쌍극항은 다음과 같다.

//추가로 읽기..