Physics/전자기학

2-1 전위(Potential)_라플라스 방정식

Valkyrja 2020. 2. 22. 15:08

(Laplace's equation)

방정식의 해의 특징

1.     특정 위치의 값은 주위 값의 평균값이다. (1차원은 두 점, 2차원은 원형고리, 3차원은 구표면)

2.     local 구간의 최대값과 최솟값이 존재하지 않는다. (경계에서만 존재한다.)


+ 위의 경우를 실제로 확인하는 예제가 있다. 자세한 증명은 편미분방정식에서.

 

(Uniqueness Theorems)


1 유일성 정리 : 특정한 부피에 대한 라플라스 방정식의 해는 특정한 경계조건에 대해서 유일하다. (특정 부피 내의 전하밀도가 정해져 있을 때에도 유일하다.)

 

증명 : 방정식의 서로 두 해가 있다고 가정하면, 두 해의 차를 또 하나의 라플라스 방정식의 해가 됨을 알 수 있다. 그것은 두 해의 차가 0임을 보이며, 따라서 해는 유일하다. 이러한 difference가 라플라스의 방정식의 해가 되는 것은 가정한 두 해가 같은 경계를 가지고, 라플라스 방정식의 특정 경계에서 항상 0이라는 것 때문이다. (Linearity)


 2 유일성 정리 특정 전하밀도를 가지고도체들에 의해 둘러 쌓여 있는 부피의 전기장은 도체들 각각의 총 전하량을 알 때 유일하게 결정된다. (특정 전하밀도에 대한 증명은 0의 경우에도 성립한다.)

 

증명 : 내부에 도체가 있는 경우로, 도체는 equipotential이라는 점을 이용한다. 이번에는 가우스법칙을 이용해 전기장의 유일성을 증명한다. 전기장의 difference를 새로운 전기장이라고 정의하면 새로운 전기장의 divergence 0을 만족하고, 도체의 equipotential과 수학적 trick을 이용하면 모든 경계에 대한 새로운 전기장의 면적분 값은 0이고(divergence의 적분형) 따라서 difference0이 되어 전기장이 유일함이 증명된다. 아래에는 이 trick의 과정을 적었다. (새로운 전기장의 divergence0이 되는 것의 증명은 생략)


E_3V_3difference 전기장과 전위라고 하고, E_3의 divergence는 0임을 안다.

이것에 적분형을 씌우고 divergence theorem을 적용하면,

위 식에서 두번째 항의 V constant이고 E의 면적분형은 0이므로 위 식의 값은 0이다. 따라서 E0이되고 E_1, E_2가 같게 되어 전기장은 유일함이 증명된다.