2-1 전위(Potential)_라플라스 방정식

(Laplace's equation)

방정식의 해의 특징

1.     특정 위치의 값은 주위 값의 평균값이다. (1차원은 두 점, 2차원은 원형고리, 3차원은 구표면)

2.     local 구간의 최대값과 최솟값이 존재하지 않는다. (경계에서만 존재한다.)

+ 위의 경우를 실제로 확인하는 예제가 있다. 자세한 증명은 편미분방정식에서.

 

(Uniqueness Theorems)

제 1 유일성 정리 : 특정한 부피에 대한 라플라스 방정식의 해는 특정한 경계조건에 대해서 유일하다. (특정 부피 내의 전하밀도가 정해져 있을 때에도 유일하다.)

 

증명 : 방정식의 서로 두 해가 있다고 가정하면, 두 해의 차를 또 하나의 라플라스 방정식의 해가 됨을 알 수 있다. 그것은 두 해의 차가 0임을 보이며, 따라서 해는 유일하다. 이러한 difference가 라플라스의 방정식의 해가 되는 것은 가정한 두 해가 같은 경계를 가지고, 라플라스 방정식의 특정 경계에서 항상 0이라는 것 때문이다. (Linearity)

제 2 유일성 정리 : 특정 전하밀도를 가지고, 도체들에 의해 둘러 쌓여 있는 부피의 전기장은 도체들 각각의 총 전하량을 알 때 유일하게 결정된다. (특정 전하밀도에 대한 증명은 0의 경우에도 성립한다.)

 

증명 : 내부에 도체가 있는 경우로, 도체는 equipotential이라는 점을 이용한다. 이번에는 가우스법칙을 이용해 전기장의 유일성을 증명한다. 전기장의 difference를 새로운 전기장이라고 정의하면 새로운 전기장의 divergence 는 0을 만족하고, 도체의 equipotential과 수학적 trick을 이용하면 모든 경계에 대한 새로운 전기장의 면적분 값은 0이고(divergence의 적분형) 따라서 difference는 0이 되어 전기장이 유일함이 증명된다. 아래에는 이 trick의 과정을 적었다. (새로운 전기장의 divergence가 0이 되는 것의 증명은 생략)

E_3와 V_3을 difference 전기장과 전위라고 하고, E_3의 divergence는 0임을 안다.

이것에 적분형을 씌우고 divergence theorem을 적용하면,

위 식에서 두번째 항의 V가 constant이고 E의 면적분형은 0이므로 위 식의 값은 0이다. 따라서 E가 0이되고 E_1, E_2가 같게 되어 전기장은 유일함이 증명된다.