3-2 Electric Fields in Matter _ 편극된 물체에 의한 전기장

(Bound Charges)

지금까지는 편극이 되는 process를 알아보았고, 이제는 편극된 dielectric 자체가 야기하는 것들에 대해 알아본다.

편극된 물체자체가 만드는 전위를 계산하기위해, 편극밀도에 의한 전위를 물체의 부피만큼 적분한다. 3장에서 배운 dipole moment에 의한 전위식을 이용하면 다음과 같다.

수학적 trick을 이용해 위의 식을 변형하기 위해 다음을 이용해보자.

전위식에 있는 마지막 항을 첫번째항으로 치환하면 전위의 기본식으로 나타낼 수 있는 가능성이 보인다.(prime에 대한 divergence로 -의 부호가 사라진다.)

다음과 같이 product rule, divergence theorem을 이용해 기본 전위식으로 나타내니, 전하밀도의 위치에 다른것이 존재한다. 첫번째 항은 표면전하, 두번째 항은 부피전하에 대한 전위처럼 보인다. 따라서 다음과 같이 정의한다. (‘전하밀도’의 위치에 있으므로 ‘전하밀도’와 같은 unit을 가진다.)

따라서 전위는 다음과 같이 표면과 부피의 전하에 의한 것으로 분리되었다.

이와 같이 전위는 표면전하밀도에 의한 전위와 부피전하밀도에 의한 전위로 구분되며, 이 둘을 ‘Bound Charges(속박전하)’라고 부른다.

그렇다면 이것이 물리적으로 실존하는 양인가 하는 의문이 생긴다. (부피전하밀도에 -붙는것도)

(속박전하의 물리적 해석)

결론적으로 이러한 표면, 부피 속박전하는 계산의 용이함을 위한 것이 아닌, 물리적 실체이다.

다음과 같이 dipoles를 일렬로 나열했다고 생각해보자.

그렇다면 중간의 +극과 -극은 상쇄가 될 것이며, 작은 dipoles은 커다란 하나의 dipole을 만든 것과 같은 효과를 가진다. 여기에서 끝과 끝의 전하를 bound charge라고 부르는 것이다. (bound라고 하는 것은 dielectric의 특성상 효과가 절대 없어질 수 없다는 의미에서) 이렇게 물리적으로 존재하는 bound charge를 계산하기 위해서, 다음과 같이 P(편극밀도)와 평행한 tube를 생각해 보자.

그림에서 덩어리를 떼어 왔을 때, 이 부분의 dipole moment는 P(Ad)이고, 앞서 설명한 대로 양 끝에 쌓인 전하량을 -q와 +q라고 한다면, dipole moment는 qd가 된다. 따라서 덩어리의 끝에 쌓인 charge는 다음과 같다.

그렇다면 표면전하밀도는 PA/A = P가 될 것이고, 일반적인 경우(표면이 P에 수직이 아닌 경우)는 다음과 같다.

 

그런데 만약 편극이 다음의 그림과 같이 일정하지 않을 때, 물질 내부에 bound charge가 축적된다(표면에 축적된 것과 같은 원리다.).

앞서 q = PA 이었던 것처럼, 부피 내부에 쌓인 전하량은 P를 면적분하여 음의 값을 한 것과 같아진다(-전하가 쌓여있고, P의 방향은 -à+ 이므로) 따라서,

발산정리를 이용하여 일반적인 경우를 나타내면,

따라서 bound charge는 물리적으로 실재하며, 값을 위와 같이 정량화하여 구할 수 있다.

(유전체 내부 자기장)

pure dipole로 생각하고 계산한 것(P는 continuous)이 discrete한 유전체 내부에서는 어떻게 정당화 될 수 있는지에 관한 내용_skip(거시적 평균 개념)